はい、暖房は必要です。
その熱を逃がさない為に、一緒に断熱補強をすることをお勧めしています。

床下断熱材の施工状況を確認し、それを改善した上で、例えば電気式床暖房を設置することも可能ですが、極めて部分的な解決方法となります。長い目で考えて、その部屋全体の断熱性能の改善をお勧めします。

壁自体の断熱性能が不足している可能性高いです。また壁内断熱材の内側に、冷たい外気が床下や小屋裏等から流入している可能性もありますので、壁の断熱性能向上や気流止めの施工等、適切な工事によって改善することができます。

マンションのドアは共有部にあたるため個別の改修は難しいです。技術的には可能ですが、都度管理組合へご相談ください。

窓は共有部のため大規模修繕以外には改修は難しい状況でした。平成28年にマンションの管理の適正化に関する指針（国交省告示第４９０号）により区分所有者が希望する場合は責任と負担において実施することが出来るとなりました。管理組合に問い合わせをしてみて下さい。

ルーバー窓は以前にデザイン上から多く採用された時期がありました。
このデザインの窓は東南アジア等の蒸暑地で良く使われている窓です。
気密・断熱・防犯には適していませんので是非改修をお勧めします。
様々な改修方法がありますがカバー工法で断熱・気密性能の高い窓に替えることをお勧めします。

冬は外壁や間仕切り壁の内部を床から天井に向けて気流が走り室内の熱を奪いますので、この気流を止める工事です。床下に潜ったり天井裏から気流を防ぐための工事をします。天井や床下の断熱工事と同時に実施します。住まいながら工事は可能です。

気流止めの未施工か、施工不良が原因だと思われます。

床下の外気が直接ユニットバスに接しないことが重要です。10年程度前より行われている浴室部の基礎断熱は重要ですが、土台下に通気パッキンが使われていたり、基礎の点検口に断熱蓋がなく、外気がユニットバス下に侵入できるようになってしまっている場合が考えられます。

なりません。
断熱材を隙間なく充填することと、気流止めが必要です。

あります。　各社より既存ドアのみ取り外し、既存の木枠、アルミ枠をを残したまま、新しい断熱ドアを取り付けます。事前に正確な寸法等調査を行えば、取り付けは1日で完成します。